max(∅)=-∞ は半群のモノイド化

全順序集合に思いを馳せながら寝たら思いついたネタを投げます。

導入

数学書かなにかで次のような記述を見たことがあるかもしれません。

$\mathbb{N}$ を正の整数全体の集合とする。

このとき、 $A\subset \mathbb{N}$ に対して $\max(A) := \text{「}A\text{のうち最も大きな値」}$ と定義する。

ただし、 $\max(\emptyset) = -\infty$ とする。

「ただし、 $\max(\emptyset) = -\infty$ とする」

これ、特殊扱いしてるみたいで気持ち悪くないですか？

しかも、今回の場合は「 $\max(\emptyset) = 0$ 」でも「 $\max(\emptyset) = -1$ 」でも「 $\max(\emptyset) = -5000\text{兆}$ 」でも問題ないです。要は $^\forall n \in \mathbb{N}, x \lt n$ を満たす $x$ なら何でもいいです。

ただ、これを半群のモノイド化（1-添加と言うらしい？）と解釈したらスッキリしました。これについて以下にまとめます。

思考

$X$ を任意の全順序集合とする。
このとき、は二項演算に関して半群である。
- ここで、二項演算であることを強調して $\max_2$ の記法を使用。以降も同様。
- 注）は一般にモノイドではない。
  - 例えば $X = \{ x\in \mathbb{R} | x \gt 0 \}$ は全順序集合だが、 $\max_2$ に関して単位元を持たない。
ここで、なる元を導入してと定義すると
- $\langle T, \alpha, \max_2\rangle$ はモノイドになる。（モノイドの定義より明らか）
とおく。
- 特に $X$ が有限集合のときは、 $S = 2^X$ である。
- 言わずもがな $\langle S, \emptyset, \cup\rangle$ はモノイドである。
このとき、写像を次のように定義する。
- に対して
  - $A\neq \emptyset$ ならば、 $\max(A) := \text{「}A\text{のうち最も大きな値」}$
  - $A = \emptyset$ ならば、 $\max(A) := \alpha$
すると、はからへのモノイド準同型である。なぜなら
- について
  - $A\neq \emptyset \land B\neq \emptyset$ ならば \begin{aligned}\max(A\cup B) &= \text{「}A\cup B\text{のうち最も大きな値」} \\ &= \max\nolimits_2(\text{「}A\text{のうち最も大きな値」}, \text{「}B\text{のうち最も大きな値」}) \\ &= \max\nolimits_2(\max(A), \max(B)) \end{aligned}
  - $A = \emptyset$ ならば \begin{aligned}\max(A\cup B) &=\max(B) \\ &= \max\nolimits_2(\alpha, \max(B))\\ &= \max\nolimits_2(\max(A), \max(B)) \end{aligned}
  - $B = \emptyset$ ならば \begin{aligned}\max(A\cup B) &=\max(A) \\ &= \max\nolimits_2(\max(A), \alpha)\\ &= \max\nolimits_2(\max(A), \max(B)) \end{aligned}

結論

「ただし、 $\max(\emptyset) = -\infty$ とする」は

全順序集合 $X$ をモノイド $\langle X \cup \{\alpha\}, \alpha, \max_2\rangle$ に拡張し、
$\max$ を、 $\langle \{ A \subset X \mid A\text{は有限集合} \}, \emptyset, \cup\rangle$ から $\langle X \cup \{\alpha\}, \alpha, \max_2\rangle$ へのモノイド準同型にする